Lineare Algebra Beispiele

$- 1 x + 0 y + z = 0$ , $x + y + 0 z = - 3$ , $0 x + y + 3 z = 1$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x + 0 y + z = 0, x + y + 0 z = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$- x + 0 + z = 0, x + y + 0 z = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Schritt 1.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$- x + z = 0, x + y + 0 z = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $0$ mit $z$ .

$- x + z = 0, x + y + 0 = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Schritt 2.2

Addiere $x + y$ und $0$ .

$- x + z = 0, x + y = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$- x + z = 0, x + y = - 3, 0 + y + 3 z = 1$

Schritt 3.2

Addiere $0$ und $y$ .

$- x + z = 0, x + y = - 3, y + 3 z = 1$

Schritt 4

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Schritt 5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 0 + 1 & - 3 - 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 3 - 1 & 1 + 3 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}]$

Schritt 5.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 5.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{4}{2} \end{array}]$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 5.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 3 - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.5.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 5.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 6

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 2$

$y = - 5$

$z = 2$

Schritt 7

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(2, - 5, 2)$

Schritt 8

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 2 \end{array}]$